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Aufgaben zur Festigkeitslehre

Aufgabe 18-12, Lösung mit MATLAB unter Ausnutzung der Bandstruktur der Koeffizientenmatrix

Das Gleichungssystem wird mit einer Bandmatrix als Koeffizientenmatrix A aufgebaut, das mit dem MATLAB-Script gabamp gelöst wird:

% Differenzenverfahren: Gerader Traeger mit Gelenk und 2 Federn, Loesung
% unter Ausnutzung der Bandstruktur der Koeffizientenmatrix (Aufgabe 18-12)

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La = 200  ;
Lb = 700  ;
Lc = 190  ;
Ld = 240  ;
Le = 260  ;
Lf = 280  ;
EI1 =  6e9 ;
EI2 = 12e9 ;
EI3 =  1e9 ;
c1 = 100  ;
c2 =   50  ;
q1 =   3  ;
F  = 2000  ;
M  = 200000 ;

L  = La+Lb+Lc+Ld+Le+Lf ; % Länge
EIB = EI1 ;              % Bezugs-Biegesteifigkeit
nA = 1870    ;           % Anzahl der Abschnitte
n  = nA + 5  ;           % Anzahl der Gleichungen
h  = L / nA  ;           % Schrittweite

A  = zeros (n,7) ;     % Rechteckmatrix fuer Aufnahme der Bandmatrix
b  = zeros (n,1) ;     % Nullvektor ("rechte Seite")
qi = zeros (n,1) ;     % Linienlastintensitaeten an Stuetzpunkten
mi = zeros (n,1) ;     % EIi = mi * EIB
ki = zeros (n,1) ;     % Bettungszahlen an Stuetzpunkten

% Markante Punkte:
iq1    = round (nA *  La/L              + 3) ;
iG     = round (nA * (La+Lb)/L          + 3) ;
ic1    = round (nA * (La+Lb+Lc)/L       + 3) ;
iF     = round (nA * (La+Lb+Lc+Ld)/L    + 3) ;
iLager = round (nA * (La+Lb+Lc+Ld+Le)/L + 3) ;
ic2    = n - 2 ;

% Belastung
qi(iq1:iG) = q1 : -q1/(iG-iq1) : 0 ;
qi(iF)     = F/h ;

% Biegesteifigkeit (mue-Werte):
mi(1:iq1-1)    = EI1/EIB ;
mi(iq1)        = (EI1+EI2)/(2*EIB) ;
mi(iq1+1:iF-1) = EI2/EIB ;
mi(iG)         = 0       ;
mi(iF)         = (EI2+EI3)/(2*EIB) ;
mi(iF+1:n)     = EI3/EIB ;

% Feder c1:
ki(ic1) = c1/h ;

%Randbedingungen:
A(1:2,:)           = [0 0  0   0     0      1  0  ;
                     0 0  0 mi(3) -2*mi(3) mi(3) 0] ;
b(2)                 = M*h^2/EIB ;                           % Lager und Moment links
A(n-1:n,:) = [mi(n-3) -2*mi(n-3) mi(n-3)-mi(n-1)+2*c2*h^3/EIB 2*mi(n-1) -mi(n-1) 0 0  ;
             mi(ic2) -2*mi(ic2)             mi(ic2)            0        0    0 0] ;
                       % Feder rechts    

for i = 3:n-2    % Matrix A:                        
   A(i,:)= [0 mi(i-1) -2*(mi(i-1)+mi(i)) mi(i-1)+4*mi(i)+mi(i+1)+ki(i)*h^4/(EIB) ...
                       -2*(mi(i)+mi(i+1)) mi(i+1) 0] ;  
   b(i) = qi(i)*h^4/(EIB) ;                         % Standardgleichungen
end

%Lager:
A(iLager,:) = [0 0 0 1 0 0 0] ;
b(iLager)  = 0 ;

t1 = cputime ;
v = gabamp (A , b) ;                                 % Berechnung der Durchsenkung
ZeitGlSyst = cputime - t1

clf;
z = 0 : h : L ;
subplot (3,1,1) ; plot (z , v(3:n-2)) , axis ij , grid on ,
                       title ('Durchbiegung') % Graphische Ausgabe der Biegelinie

for i=3:n-2                     
   Mb(i) = -mi(i)*EIB * (v(i-1)-2*v(i)+v(i+1))/h^2 ;                % Biegemoment
   FQ(i) = 0.5*EIB * (mi(i-1)*v(i-2)-2*mi(i-1)*v(i-1)+(mi(i-1)-mi(i+1)) ...
                       *v(i)+2*mi(i+1)*v(i+1)-mi(i+1)*v(i+2))/h^3 ; % Querkraft
end
  
subplot (3,1,2) ; plot (z , Mb(3:n-2)) , grid on , title ('Biegemoment')
subplot (3,1,3) ; plot (z , FQ(3:n-2)) , grid on , title ('Querkraft')  
  
AbsenkungGelenk  = v(iG)
AbsenkungKraft   = v(iF)         % Ausgabe in das Command window:   
AbsenkungFeder1  = v(ic1)        % Zahlenwerte der Verschiebungen ...
AbsenkungFeder2  = v(ic2)        % an vier speziellen Punkten ...
Mbmax            = max(abs(Mb))  % ... und das absolut grösste Biegemoment

Nachfolgend sind die Ergebnisse im “Command Window” und das Graphik-Fenster für eine Rechnung mit  nA = 1870  zu sehen:

Die oben gelistete M-Datei ist als Aufg18_12Band.m zum Download verfügbar. Zusätzlich wird das Script gabamp.m benötigt.

Klicken auf das nebenstehende Bild zeigt die PostScript-Datei mit den exakten Ergebnissen, die mit CAMMPUS berechnet wurden. Die von CAMMPUS erzeugte Datei des Berechnungsmodells ist als Auf18_12.dat verfügbar.

Exakte Ergebnisse
mit CAMMPUS
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