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Aufgaben zur Festigkeitslehre

Das Gleichungssystem wird mit einer Bandmatrix als Koeffizientenmatrix A aufgebaut, das mit dem MATLAB-Script gabamp gelöst wird:

% Differenzenverfahren, Aufgabe 18-13
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L1 = 200 ;
L2 = 300 ;
L3 = 100 ;
L  = L1+L2+L3 ;
q1 = 2 ;
q2 = 3 ;
E  = 210000 ;
I1 =    500 ;
I2 =    800 ;
I3 =    200 ;
F1 =    200 ;
F2 =    600 ;
M1 =  40000 ;
M2 =  50000 ;
c1 =    40 ;
c2 =    30 ;
cT = 120000 ;

EIB = E*I1   ;       % Bezugs-Biegesteifigkeit
nA = 3000   ;       % Anzahl der Abschnitte
n  = nA + 5 ;       % Anzahl der Gleichungen
h  = L / nA ;

% Markante Punkte:
iF2 = round (nA*L1/L     + 3) ;
iM2 = round (nA*(L1+L2)/L + 3) ;
iRechts = n - 2 ;

A  = zeros (n,7) ;     % Rechteckmatrix fuer Aufnahme der Bandmatrix
b  = zeros (n,1) ;     % Nullvektor ("rechte Seite")
qi = zeros (n,1) ;     % Linienlastintensitaeten an Stuetzpunkten
mi = zeros (n,1) ;     % EIi = mi * EIB
ki = zeros (n,1) ;     % Bettungszahlen an Stuetzpunkten

% Biegesteifigkeit (mue-Werte):
mi(1:iF2-1) = E*I1/EIB ;
mi(iF2)    = 0 ;                                %Gelenk
mi(iF2+1:iM2-1) = E*I2/EIB ;
mi(iM2)    = (E*I2+E*I3)/(2*EIB) ;
mi(iM2+1:n) = E*I3/EIB ;

qi(iF2:iM2) = q1 : (q2-q1)/(iM2-iF2) : q2 ;      % Linienlast
qi(iF2)    = q1/2 ;
qi(iM2)    = q2/2 ;

qi(iF2)  = qi(iF2)  + F2/h ;                   % Kraft F2 ("verschmiert")
qi(iM2-1) = qi(iM2-1) + M2/(2*h^2) ;             % Moment M2, ersetzt durch Kraeftepaar,
qi(iM2+1) = qi(iM2+1) - M2/(2*h^2) ;             % dieses dann "verschmiert"
          
ki(iF2)  = c2/h ;                               % Feder c2

%Randbedingungen:
A(1:2,:) = [0 0  0 0 mi(3)+cT*h/(2*EIB) -2*mi(3) mi(3)-cT*h/(2*EIB) ;
           0 0  mi(2) -2*mi(2) mi(2)-mi(4)-2*c1*h^3/(EIB) 2*mi(4) -mi(4)] ;
b(1) = -M1*h^2/(EIB)   ;                         % Randbedingungen links: Feder c1,
b(2) = -2*F1*h^3/(EIB) ;                         % Drehfeder, Kraft F1, Moment M1
              
A(n-1:n,:) = [ 0 0 1 0 0 0 0 ;
             -1 0 1 0 0 0 0] ;                  % Randbedingungen rechts: Einspannung

for i = 3:n-2    % Matrix A:                        
   A(i,:)= [0 mi(i-1) -2*(mi(i-1)+mi(i)) mi(i-1)+4*mi(i)+mi(i+1)+ki(i)*h^4/EIB ...
                       -2*(mi(i)+mi(i+1)) mi(i+1) 0] ;  
   b(i) = qi(i)*h^4/EIB ;                       % Standardgleichungen
end

A(iM2,:)= [0 0 0 1 0 0 0] ;                      % Zwischenstuetze
b(iM2) = 0 ;

t1 = cputime ;
v = gabamp (A , b) ;                             % Berechnung der Durchsenkung
ZeitGlSyst = cputime - t1

clf;
z = 0 : h : L ;
subplot (2,1,1) ; plot (z , v(3:n-2)) , axis ij , grid on ,
                       title ('Durchbiegung') % Graphische Ausgabe der Biegelinie

for i=3:n-2                     
   Mb(i) = -mi(i)*EIB * (v(i-1)-2*v(i)+v(i+1))/h^2 ;  % Biegemoment
end
  
subplot (2,1,2) ; plot (z , Mb(3:n-2)) , grid on , title ('Biegemoment')
  
AbsenkungLinks = v(3)       % Ausgabe in das Command window:
AbsenkungF2    = v(iF2)     % Zahlenwerte der Verschiebungen ...        
MbEinspann     = Mb(iRechts) % ... und das Einspannmoment rechts

Nachfolgend sind die Ergebnisse im “Command Window” und das Graphik-Fenster für eine Rechnung mit  nA = 3000  zu sehen:

Das oben gelistete MATLAB-Script steht als Auf18_13.m zum Download zur Verfügung.

Klicken auf das nebenstehende Bild zeigt die PostScript-Datei mit den exakten Ergebnissen, die mit CAMMPUS berechnet wurden. Die von CAMMPUS erzeugte Datei des Berechnungsmodells ist als Auf18_13.dat verfügbar.

Exakte      
Ergebnisse
mit
CAMMPUS
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