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Aufgaben zur Kinematik und Kinetik und den Prinzipien der Mechanik

Gegeben: EI = 3000 Nm2 ; ρA = 3 kg/m l = 1 ;   c = 200000 N/m  .

Der Finite-Elemente-”Baukasten” FEMSET dient eigentlich als Basis für den Aufbau individueller FEM-Programme. Weil in der MATLAB-Interface-Version aber ein Baustein “Eigenschwingungen” und das Element “Biegeträger” als Standard-Element vorhanden sind, können die Eigenfrequenzen für die Aufgabe 32-10 damit auf einfache Weise nachgerechnet werden. Zunächst wird die oben zu sehende sehr grobe Einteilung in nur 2 Elemente (3 Knoten) realisiert. Um das  nachfolgende Matlab-Scripts laufen zu lassen, wird nur die DLL femeig.dll benötigt.

Aufg33_10FEM2Das nebenstehende Matlab-Script zeigt den Aufbau der 6 Matrizen, die das Berechnungsmodell definieren:

  • xy enthält die Koordinaten der drei Knoten (bezogen auf den willkürlich in den Punkt 1 gelegten Ursprung),
  • km enthält die zu den beiden Elementen gehörenden Knotennummern (Koinzidenzmatrix),
  • ep enthält die (jeweils 2) Elementparameter der beiden Elemente: Biegesteifigkeit und Massebelegung,
  • kr enthält die Informationen über die verhinderten Verformungen (1 - Verformung verhindert, 0 - Verformung möglich), für jeden Knoten je ein Indikator für die Vertikalverschiebung und den Biegewinkel.
  • mk enthält die an den Knoten vorhandenen Einzelmassen (für diese Aufgabe Fehlanzeige).
  • sc enthält die Steifigkeiten der an den Knoten angreifenden Federn (Aufg32_10FEM2CW1für jeden Knoten sind eine vertikal angreifende Feder und eine Drehfeder möglich).

Mit dem Aufruf von femeig_m wird die Eigenkreisfrequenzberechnung gestartet, der erste Parameter gibt die Anzahl der gewünschten (kleinsten) Eigenkreisfrequenzen vor, ausgegeben wird in das Command Window die Eigenfrequenz (bei der äußerst groben Elementeinteilung ist es nicht sinnvoll, mehr als eine Frequenz berechnen zu lassen).

Das Ergebnis ist recht genau, um allerdings auch höhere Frequenzen zu berechnen, muss eine feinere Diskretisierung gewählt werden. Das folgende Matlab-Script realisiert eine beliebig feine (gleichmäßige) Elementeinteilung:

Aufg32_10FEM

Aufg32_10FEMGraphik1Die Anzahl der Elemente wird in Zeile 9 festgelegt. Schon bei einer Einteilung in nur 20 Elemente sind die ersten drei Eigenfrequenzen, die in das Command Window ausgegeben werden, praktisch exakt:

Aufg32_10FEMCW1

Wenn die Rechnung mit der sehr großen Federsteifigkeit c = 1020 N/m wiederholt wird, erhält man die flgenden Ergebnisse, die exakt mit denen der Aufgabe 32-7 übereinstimmen:

Aufg32_10FEMCW2

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