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Aufgaben zur Kinematik und Kinetik und den Prinzipien der Mechanik

Im Skript “Biegeschwingungen gerader Träger” wird das nachfolgend gelistete Matlab-Script ausführlich kommentiert:

% Ritzsches Verfahren: Biegeschwingungen gerader Traeger mit Polynom-Ansatzfunktionen,
% Aufgabe 32-7.

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% 11111111111 ANPASSEN AN DAS AKTUELLE PROBLEM VON HIER ... 111111111111111111111111111
% Parameter:
tl   =   1 ;
EI   = 3000 ;
rhoA =   3 ;

% Ansatzfunktionen und deren 1. und 2. Ableitungen:
m  = 5 ; tlh = tl/2 ;            % Anzahl der Ansatzfuntionen (wenn m < 5 gesetzt ...
P1 = [1/tlh^3 -1/tlh^2 0 0] ;    % ... wird, werden nur die ersten ...
P2 = [1/tlh^4 -1/tlh^3 0 0 0] ;  % ... m Ansatzfunktionen verwendet)
P3 = [1/tlh^5 -1/tlh^4 0 0 0 0] ;
P4 = [1/tlh^6 -1/tlh^5 0 0 0 0 0] ;
P5 = [1/tlh^7 -1/tlh^6 0 0 0 0 0 0] ;
% 11111111111 ... BIS HIER 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

P1D = polyder (P1);
P2D = polyder (P2);
P3D = polyder (P3);
P4D = polyder (P4);
P5D = polyder (P5);

P1DD = polyder (P1D) ;
P2DD = polyder (P2D) ;
P3DD = polyder (P3D) ;
P4DD = polyder (P4D) ;
P5DD = polyder (P5D) ;

% ------------------------------------------------------------------------------------
% Vorbereitung der numerischen Integration und der Ergebnisauswertung:
n  = 100 ;               % Anzahl der Abschnitte für numerische Integration
dz = tl / n ;            % Breite eines Integrationsintervalls
nS = n + 1 ;             % Anzahl der Stützstellen
zS = 0 : dz : tl ;       % Koordinaten der Stützpunkte

EIS  = zeros (nS , 1) ;
rhoAS = zeros (nS , 1) ;

% 22222222222222 ANPASSEN AN DAS AKTUELLE PROBLEM VON HIER ... 222222222222222222222222
EIS(1:nS)  = EI   ;     % Konstante Biegesteifigkeit und ...
rhoAS(1:nS) = rhoA ;     % ... konstante Massebelegung
% 22222222222222 ... BIS HIER 222222222222222222222222222222222222222222222222222222222

% Funktionswerte und 1. und 2. Ableitung der Ansatzfunktionen an den Stützstellen
vS (:,1) = polyval (P1  , zS)' ;
vS (:,2) = polyval (P2  , zS)' ;
vS (:,3) = polyval (P3  , zS)' ;
vS (:,4) = polyval (P4  , zS)' ;
vS (:,5) = polyval (P5  , zS)' ;
vdS (:,1) = polyval (P1D , zS)' ;
vdS (:,2) = polyval (P2D , zS)' ;
vdS (:,3) = polyval (P3D , zS)' ;
vdS (:,4) = polyval (P4D , zS)' ;
vdS (:,5) = polyval (P5D , zS)' ;
vddS(:,1) = polyval (P1DD , zS)' ;
vddS(:,2) = polyval (P2DD , zS)' ;
vddS(:,3) = polyval (P3DD , zS)' ;
vddS(:,4) = polyval (P4DD , zS)' ;
vddS(:,5) = polyval (P5DD , zS)' ;

subplot(m+1,1,1) ; plot(zS , vS(:,1:m)) ; grid ; title('Ansatzfunktionen:') ;

% ------------------------------------------------------------------------------------
% Aufbau des allgemeinen Matrizen-Eigenwertproblems:
K = zeros (m , m) ;
M = zeros (m , m) ;

for ii = 1:m                                         % Schleife über alle Gleichungen
  for jj = 1:m                                       % ii-te Zeile (Koeffizienten kij)
   Summe1 = EIS (1)*vddS(1,ii)*vddS(1,jj) + EIS  (nS)*vddS(nS,ii)*vddS(nS,jj) ;
   Summe2 = rhoAS(1)*vS (1,ii)*vS  (1,jj) + rhoAS(nS)*vS (nS,ii)*vS (nS,jj) ;
   faktor = 4 ;                                     % Numerische Integration ...
   for k = 2:n                                      % ... nach Simpsonscher Regel ...
     Summe1 = Summe1 + EIS  (k) * vddS(k,ii) * vddS (k,jj) * faktor ;
     Summe2 = Summe2 + rhoAS(k) * vS  (k,ii) * vS   (k,jj) * faktor ;
     if   (faktor == 4) faktor = 2 ;               
     else               faktor = 4 ;               
     end ;
   end
% 33333333333333 ANPASSEN AN DAS AKTUELLE PROBLEM VON HIER ... 3333333333333333333333333
   K(ii,jj) = Summe1*dz/3 ;
   M(ii,jj) = Summe2*dz/3 ;
% 33333333333333 ... BIS HIER ... 333333333333333333333333333333333333333333333333333333
  end 
end

% Lösen des allgemeinen Eigenwertproblems:
[V D] = eig (K , M) ;

for i=1:m
   f(i) = sqrt(D(i,i)) / (2*pi) ;
end
[f , Index] = sort(f) ;
if (m > 3) mm = 3 ; else mm = m ; end  ; % Maximal 3 Eigenfrequenzen ausgeben ...
Eigenfrequenzen = f(1:mm)

z = 0 : tl/n : tl ;
for i = 1:mm                             % ... bzw. Eigenschwingungsformen zeichnen
   v = vS(:,1:m) * V(:,Index(i)) ;
   subplot (mm+1,1,i+1) ; plot (z , v) , grid on , ...
             title (strcat(num2str(i),'. Eigenschwingungsform:')) ;
end

Die in das Command Window ausgegebenen Eigenfrequenzen zeigen für die beiden kleinsten Frequenzen eine ausgezeichnete Übereinstimmung mit den Ergebnissen der analytischen Lösung , die dritte Eigenfrequenz zeigt eine deutliche Abweichung. Die Graphik-Ausgabe bestätigt, dass die 5 Ansatzfunktionen die geometrischen Randbedingungen erfüllen. Die Eigenschwingungsformen zeigen den zu erwartenden Verlauf.

 

Das oben gelistete MATLAB-Script steht als Aufg32_7_Ritz.m zum Download zur Verfügung.

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