Aufgabe

Eine Laufkatze (Masse m_K) trägt eine Last (Masse einschließlich Anhängevorrichtung: m_L, Massenträgheitsmoment bezüglich des Schwerpunktes S: J_L). In der skizzierten Ruhelage beginnt für eine kurze Zeit Δt die konstante Antriebskraft F₀ zu wirken, die danach wieder abgeschaltet wird. Nach dem Zurücklegen der Strecke a stößt die Laufkatze auf einen elastischen Puffer (Federzahl c).

Die Bewegung von Laufkatze und Last soll, beginnend aus der Ruhelage, für die ersten 10 Sekunden analysiert werden.

Gegeben:

m_K = 100 kg ;  J_L = 400 kgm² ;  l_S = 4 m ;  F₀ = 2000 N ;
m_L = 500 kg ;  c = 200000 N/m ;  Δt = 1 s ;  a = 5 m .

Die Aufgabe wird in den Kapiteln "Prinzipien der Mechanik" und "Verifizieren von Computerrechnungen" behandelt.

Bewegungs-Differenzialgleichungen, Vorbereitung der Simulink-Rechnung

Die Besonderheit dieser Aufgabe besteht in dem Eintreten von "Ereignissen" (Abschalten der Antriebskraft, Zu- und Abschalten einer Feder). Man erfasst sie, indem an die Stelle der Kraft F₀ die zeitabhängige Kraft F_t tritt und die Federkonstante c durch c_t ersetzt wird:

Unter Verwendung der nebenstehend skizzierten Koordinaten gelten folgende Bewegungs-Differenzialgleichungen (die ausführlich kommentierte Herleitung findet man im Kapitel "Prinzipien der Mechanik"):

Damit kann das Anfangswertproblem so formuliert werden, wie man es in Simulink modellieren kann:

Die sprunghaften Änderungen der Parameter F_t und c_t werden folgendermaßen realisiert:

• Die Änderung der Kraft F_t erfolgt zu einem vorab bekannten Zeitpunkt. Sie kann mit der in Siumlink verfügbaren Sprungfunktion ("Step"), die genau dafür vorgesehen ist, realisiert werden.
• Die Änderung der Federkraft c_t(x−a) erfolgt in Abhängigheit vom Weg x, der erst berechnet werden muss. Deshalb wird mit Hilfe der Signum-Funktion ein Ausdruck konstruiert, der für x <a den Wert 0 ergibt, für x >a den Wert 1. Es ist offensichtlich, dass der Ausdruck
  [1 + sgn(x−a)] · 0.5
  genau diese Bedingungen erfüllt (dass dieser Ausdruck den Wert 0.5 liefert, wenn exakt x = a gilt, hat keine Bedeutung, weil dann die Federkraft selbst den Wert 0 hat). Er wird mit der Federkraft c(x−a) multipliziert.

Es bietet sich an, die Energiekurve als Kontrollfunktion parallel zur Integration der Bewegungs-Differenzialgleichungen zu ermitteln. Die potenzielle Energie soll nur für das bewegte System berücksichtigt werden (während des Kontakts mit der Feder ist auch in dieser potenzielle Energie gespeichert). Im Kapitel "Verifizieren von Computerrechnungen" wird gezeigt, dass mit dem Null-Potenzial entsprechend nebenstehender Skizze und den Anteilen der kinetischen Energie aus der Bewegung von Laufkatze und pendelnder Last folgende Beziehung für die Gesamtenergie des bewegten Systems gilt:

Diese Funktion wird mit den ermittelten Werten für x(t), φ(t) und deren Ableitungen berechnet und graphisch dargestellt.

Simulink-Blockschaltbild

Das nachfolgend zu sehende Simulink-Blockschaltbild bildet das oben angegebene Anfangswertproblem ab:

• Links werden die beiden Beschleunigungen hineingeführt (wo die herkommen, wird nachfolgend erläutert). Sie werden jeweils durch zwei Integratoren geschickt: Der erste Integrator (xpp->xp bzw. phipp->phip) macht aus den Beschleunigungen Geschwindigkeiten, nach Durchlaufen des zweiten Integrators (xp->x bzw. phip->phi) sind die Funktionen x(t) und φ(t) entstanden. Diese sind bereits das Ziel der Berechnungen und werden deshalb sofort den "Scope"-Blöcken mit den Bezeichnungen x(t) bzw. phi(t) zugeführt, die die Funktionen graphisch darstellen.

• Die Integratoren benötigen für ihre Arbeit jeweils die zugehörige Anfangsbedingung. Nach Doppelklick auf einen Integrator öffnet sich ein Fenster, nebenstehend zu sehen für den Integrator xp->x. Im Feld "Initial condition" muss der Anfangswert für x eingetragen werden. Die 0 ist die Standardvoreinstellung, und weil sämtliche Anfangswerte bei dieser Aufgabe diesen Wert haben, ist also an dieser Stelle nichts weiter zu tun.
• Alle Ausgangswerte der Integratoren werden abgezweigt und in einen "Mux-Block" gesteckt, der daraus einen Vektor u zusammensetzt, der dann am Ausgang dieses Blocks verfügbar ist. Damit stehen (neben den Parametern, die die Aufgabenstellung vorgibt) die Funktionen bereit, mit denen alle Ausdrücke, die die Differenzialgleichungen definieren, gebildet werden können. Entsprechend der Reihenfolge am Eingang des Mux-Blocks sind die Werte dann im Vektor u positioniert:
  

• Zunächst wird der (besonders aufwendige) Weg verfolgt, auf dem der Ausdruck b₁ (im Zähler auf der rechten Seite der ersten Differenzialgleichung) erzeugt wird: In dem Fcn-Block ("Function-Block") ganz oben (mit der Bezeichnung "b1 ohne Feder und Antrieb") wird der erste Ausdruck zur Bildung von b₁ erzeugt. Nach Doppelklick auf diesen Block öffnet sich ein Fenster, nebenstehend ist zu sehen, wie dort die Funktion eingetragen wird. Dabei müssen die u-Werte verwendet werden, hier steht z. B. u(2) für die Variable φ.
  
  Im Zweig unmittelbar darunter wird der Ausdruck für die Federkraft zusammengesetzt: Zunächst wird im Fcn-Block "x−a" der Ausdruck x−a berechnet, der danach durch den Signum-Block geschickt wird, so dass +1 oder −1 entsteht. Im so genannten Bias-Block (hier mit dem Namen "1+sign(x−a)") wird der Wert um 1 vergrößert und das Ergebnis wird in einem Gain-Block mit 0.5 multipliziert, so dass das Ergebnis +1 oder 0 ist. Aus dem Fcn-Block "x−a" am Anfang dieser Kette wird das Ergebnis noch einmal abgezweigt und in einem Gain-Block mit der Federkonstanten c multipliziert. Die auf diesen beiden Wegen entstandenen Ergebnisse werden im Product-Block "Federkraft" miteinander multipliziert. Das Ergebnis ist entweder die Federkraft c(x−a) (für x > a) oder 0 (für x < a).

• Die Ergebnisse aus den Blöcken "b1 ohne Feder und Antrieb" und "Federkraft" werden in einem Sum-Block zusammengeführt (hier dargestellt als Kreis, bei dem die Vorzeichen andeuten, dass ein Summand positiv, der andere negativ sein soll).
• Es fehlt noch die Antriebskraft für die Komplettierung des Ausdrucks b₁. Sie wird als Sprung-Funktion in einem Step-Block definiert, der hier mit dem Namen "Antriebskraft" versehen wurde. Ein Doppelklick auf diesen Block öffnet ein Fenster, das die Definition zeigt (nebenstehend sieht man einen Ausschnitt dieses Fensters): Als "Initial value" wurde F0 eingetragen, so dass die Funktion diesen Wert so lange liefert, bis die "Step time" (dort wurde Dt eingetragen) erreicht ist. Dann gilt der "Final value" (Kraft ist abgeschaltet).
• Die Antriebskraft wird mit dem Ergebnis des oben beschriebenen Sum-Blocks in einen weiteren Sum-Block eingespeist, der nun den komletten Ausdrucks b₁ abliefert. Im Ausdruck für die Beschleunigung
  
  wurde damit der erste Term des Zählers erzeugt.
• Für den zweiten Term im Zähler wird (wieder startend am Ausgang des Mux-Blocks) zunächst in einem Fcn-Block mit dem Namen "a12" der Ausdruck a₁₂ erzeugt. Dieser wird in einen Product-Block mit dem Namen "a12*phipp" eingespeist. Der andere in diesen Block einfließende Faktor ist die Winkelbeschleunigung, die aus dem Ergebnis des (bisher noch nicht betrachteten) unteren Zweigs abgezweigt wird.
• Das Ergebnis dieses Product-Blocks wird mit dem Ergebnis des Sum-Blocks, der den Ausdruck b₁ erzeugte, in einem Sum-Block zum Zähler des Beschleunigungs-Ausdrucks zusammengeführt. Dessen Ergebnis wird schließlich noch in einem Gain-Block mit dem reziproken Wert von a₁₁ = m_K+m_L multipliziert, und damit schließt sich der Kreis: Das Ergebnis (die Beschleunigung der Laufkatze) wird den Integratoren zugeführt.
• Auf entsprechendem Wege entsteht der Ausdruck für die Winkelbeschleunigung der pendelnden Last, wobei einige bereits berechnete Ausdrücke verwendet werden können.
• In dem großen Fcn-Block "Kontrollfunktion Tges" im unteren Bereich des Blockschaltbilds entsteht die zur Kontrolle zu erzeugende Gesamtenergie des bewegten Systems. Das Ergebnis wird unmittelbar einem Scope-Block (Name: "Tges(t)") zugeführt.
• Bevor die Rechnung gestartet werden kann, müssen noch die Parameter der Aufgabenstellung als Zahlenwerte bekanntgemacht werden, indem sie z. B. (natürlich mit den im Blockschaltbild verwendeten Namen) über das Command Window eingegeben werden. Sie sind am unteren Rand des Blockschaltbilds aufgelistet und können mit "Cut and Paste" in das Command Window übertragen werden.

Ergebnisse der Berechnung

Nachdem (z. B. wie oben beschrieben) die Problemparameter als Zahlenwerte eingegeben wurden, kann die Rechnung aus dem Fenster mit der Darstellung des Blockschaltbilds über das Menüangebot Simulation|Start gestartet werden. Man sieht zunächst nichts, die Ergebnisse landen in den "Scopes". Durch Doppelklick auf Scope "x(t)" wird die graphische Darstellung des Bewegungsgesetzes der Laufkatze, durch Doppelklick auf Scope "phi(t)" wird die graphische Darstellung des Bewegungsgesetzes der pendelnden Last sichtbar (es ist empfehlenswert, jeweils nach dem Öffnen des Graphik-Fensters auf das "Fernglas"-Symbol zu klicken, wodurch automatisch ein geeigneter Maßstab für die Darstellung gewählt wird):

 

In der vorstehenden Graphik links (Bewegungsgesetz x(t)) sieht man, dass die Laufkatze offensichtlich zweimal an die Feder stößt, bevor sie ihren Rückweg antritt und mehrmals (auch ohne äußere Krafteinwirkung) ihre Bewegungsrichtung ändert. Dieses etwas überraschende Verhalten wird hier ausführlich diskutiert.

Die Kurve der Kontrollfunktion T_ges(t) (nebenstehendes Bild, erscheint nach Doppelklick auf Scope "Tges(t)") liefert ein wichtiges Indiz für die Richtigkeit der Rechnung: Startend mit der (negativen) potenziellen Energie, wächst sie infolge der Antriebskraft auf ihren Maximalwert, den sie zum Zeitpunkt t = Δt erreicht. Die beiden "Zacken" in der Kurve kennzeichnen die Energieabgabe an die Feder nach dem Anschlag. Die Energie wird komplett an das bewegte System zurückgegeben, so dass der Rest des Kurvenverlaufs wieder eine horizontale Gerade ist.

Die drei Graphiken sind die einzigen Ausgaben, die in dieser Berechnung vorgesehen sind. Man kann natürlich auch bei Rechnungen mit Simulink numerische Daten ausgeben lassen, z. B. die Wertetabellen für die berechneten Funktionswerte. Darauf wurde hier verzichtet, weil die Aufgabe auch mit verschiedenen anderen Verfahren berechnet wurde (eine Zusammenstellung findet man hier).

Weil aber einerseits das Blockschaltbild möglicherweise recht kompliziert erscheint, andererseits der Verlauf der Kurve x(t) etwas merkwürdig ist, wird nachfolgend gezeigt, dass es ja auch kein so einfaches Problem ist. Links ist ein Zoom in das Bewegungsgesetz der Laufkatze dargestellt, der den besonders interessanten Teil der Bewegung verdeutlicht. Was im Diagramm noch etwas überraschend erscheint, wird mit der unten rechts zu sehenden Animation der Bewegung verständlich. Man sieht, wie die schwingende Last auf die Laufkatze einwirkt und Änderungen der Bewegungsrichtung auch ohne äußere Krafteinwirkung erzwingt:

 

Die Animation zeigt die Bewegung von Laufkatze und Last etwa für den Zeitbereich, der im links zu sehenden Diagramm als Bewegungsgesetz der Laufkatze dargestellt ist.

Bemerkung zur Simulink-Berechnung

Die Benutzeroberfläche von Simulink, die im Vergleich zu vielen anderen so ganz anders aussieht, suggeriert, dass hier mit einem Blockschaltbild eine Art Regelkreis definiert wird. Tatsächlich ist das wirklich nur die Oberfläche, intern wird (natürlich!) numerisch gerechnet, und eigentlich passiert nichts anderes als nach dem Schreiben eines Matlab-Scripts, wie es zum Beispiel auf den Seiten "Laufkatze - einfache Berechnung mit Matlab" oder "Laufkatze - Berechnung mit der Matlab-Event-Strategie" demonstriert wird.

Man kann sich das anzeigen lassen (und gegebenenfalls beeinflussen), was intern geschieht. Das nachfolgend zu sehende Fenster (Ausschnitt) sollte ohnehin mindestens einmal vor der Rechnung aufgerufen werden, um den Integrationsbereich (Anfangs- und Endzeit) festzulegen. Es erscheint über das Menüangebot Simulation|Configuration Parameters ...:

Man sieht, dass die Voreinstellung für den Solver genau der ode45-Algorithmus ist, der auch als Standard-Solver für Matlab-Scripts (und damit für die Berechnungen, auf die oben verwiesen wird) verwendet wird. Man kann sowohl diese Einstellung als auch die "MaxStep"-Einstellungen, auf die bei den Matlab-Berechnungen ausführlich eingegangen wird, verändern.

Fazit: Simulink ist nur eine andere Oberfläche für die Matlab-Funktionen.

Download

Das oben zu sehende Simulink-Blockschaltbild steht als laufkatzekontr.mdl zum Download zur Verfügung.